计算公式：
求一个自然数N的约数个数与约数和，先把这个自然数分解质因数，表示为：
N﹦P1 a1·P2a2·P3a3……PKak
N的约数的个数为：（a1＋1）×（a2＋1）×……×（ak＋1）；
N的约数和为：（1＋P1＋ P12＋…＋ P1a1）×（1＋P2＋ P22＋…＋ P2a2）×……×（1＋PK＋PK2＋…＋PKak）。
例如：72﹦23×32
先找出23的所有（3＋1﹦）4个约数：1、2、22、23；
再找出32的所有（2＋1﹦）3个约数：1、3、32。
用23的每一个约数依次去乘以32的每一个约数，可以求出72的所有[（3＋1）×（2＋1）﹦]12个约数：
1、3、32、2×1、2×3、2×32、22×1、22×3、22×32、23×1、23×3、23×32。
约数和为：
（1＋2＋22＋23）×（1＋3＋32）﹦195
约数个数与约数和的计算公式证明过程比较复杂，需要从单个质数，到只含有几个相同质因数的合数，到含有几个不同质因数的合数逐步推理，寻找、验证规律。小学生理解比较困难，可以到初中奥数学习中再进一步探究。
【题目】：
求500的约数的个数。
【解析】：
分解质因数：500﹦22×53
根据约数个数计算公式，可以求出500的约数个数为：
（2＋1）×（3＋1）﹦12（个）。
【题目】：
求720所有约数的和。
【解析】：
分解质因数：720﹦24×32×5
根据约数和计算公式，可以求出720所有约数的和为：
（1＋2＋22＋23＋24）×（1＋3＋32）×（1＋5）﹦2418。
【题目】：
小于200且有15个约数的自然数是多少？
【解析】：
根据约数个数计算公式分解15可得：
①15﹦1+14，这个数可以写在某一个质数的14次方；
②15﹦3×5﹦（1＋2）×（1＋4），这个数包含两个不同的质因数，其中一个质因数出现2次，另一个质因数出现4次。
假设是第①种情况，这个数最小是2的14次方，大于200，不符合题意。
假设是第②种情况，这个数最小是：24×32﹦144；依次再取大一点的质因数，可以算出这个自然数大于200，不符合题意。
所以这个自然数是144。
【题目】：
数A﹦25×33×52×7有许多约数，其中最大的两位数约数是多少？
【解析】：
对A的质因数重新组合尝试，可以算出其中最大的两位数约数为：
25×3﹦96。
【题目】：
有一个整数，个位是0，它共有8个约数，这个数最小是多少？
【解析】：
根据约数个数计算公式分解8可得：
①8﹦1+7，这个数可以写在某一个质数的7次方；
②8﹦2×4﹦（1＋1）×（1＋3），这个数包含两个不同的质因数，其中一个质因数出现1次，另一个质因数出现3次。
又因为这个整数的个位是0，至少含有两个不同的质因数2和5，所以第①种情况不符合题意。应该是第②种情况，这个数最小是：
23×5﹦40。
【题目】：
在一个数的约数中，将所有约数两两求和，所有的和中，最小的是3，最大的是1200，这个数是多少？
【解析】：
约数两两求和是3，这两个约数只能是1和2；
每个数的约数都是成对出现的。因为这个数包含约数2，所以这个数最大的约数是它本身，此外最大的约数是它的一半。假设这个数的一半为a，则这个数的约数两两求和，最大的和就是（a＋2a），由题意可得：
a＋2a﹦1200
解得：a﹦400
所以这个数是：400×2﹦800。